小巴拉说：今天这道题，看着短，其实有窍门。

乘积是 100，和也是 100
最多几个数？

一些自然数，乘起来等于 100，加起来也等于 100。

不急，慢慢想，1 是关键。

封面。题目：有一些自然数的乘积是100，和也是100，则这些自然数最多有几个。

题目在问什么？

有一些自然数，它们的乘积是 100，和也是 100。问：这样的自然数最多有几个？

乘积 = 100

全部相乘得 100

和 = 100

全部相加得 100

最多几个

个数要尽可能多

三个词圈出来：乘积、和、最多。

读题，强调两个条件同时成立，且要个数最多。

先感受一下

例 1

10 和 10
乘积 100，和 20
只有 2 个数

例 2

2、2、5、5
乘积 100，和 14
有 4 个数

同样乘积都是 100，个数可以差很多。题目要的是最多能到几个。

乘积固定，数的个数还能变。

用简单例子让学生感受「个数可以不同」。

想一想

乘 1 会怎样？

1 × 任何数 = 任何数（乘积不变）

1 + 任何数（和会变大）

所以：想个数多，可以多放几个 1！

核心突破口：1 不改变乘积，但增加个数与和。

怎么想？

①

先找几个不是 1 的数
乘积 = 100，且它们的和尽量小

②

和还差多少到 100？
剩下的全部用 1 补上

非 1 的数越少、和越小，就能塞更多 1。

讲解两步策略：最小化非1部分的和，再用1填充。

100 怎么拆成几个数相乘？

100 = 2 × 2 × 5 × 5

也可以合并成别的组合，比如 4×5×5、10×10……

质因数：100 = 2² × 5²
拆法举例：2×2×5×5 | 4×5×5 | 10×10

质因数分解，列举几种乘积为100的组合。

乘积都是 100，和谁最小？

组合	乘积	和	个数
2 × 2 × 5 × 5	100	14	4
4 × 5 × 5	100	14	3
2 × 5 × 10	100	17	3
10 × 10	100	20	2
100	100	100	1

2、2、5、5 这一组和最小，只有 14。

对比表格，2,2,5,5 和最小为14，且个数比4,5,5多。

乘积固定时，拆成更多小数，和往往更小。

4×5×5 可以看成 2×2×5×5，和从 14 变 14 不变，但多了 1 个数。
10×10 和是 20，比 14 大，留给 1 的空间就少了。

原理：拆成更多较小因子，和在相同乘积下更小。

想一想

2、2、5、5 的和是 14

总和要到 100，还差多少？
100 − 14 = ？

（下一页揭晓）

让学生先算 100-14=86。

用 1 把和补到 100

100 − 14 = 86

放 86 个 1，每个 1 让和 +1，乘积还是 100。
再加上 2、2、5、5 这四个数。

86 个 1，稳得很。

86个1加上2,2,5,5。

一共几个数？

86 个 1 + 2 + 2 + 5 + 5

个数 = 86 + 4 = 0 个

计数：86+4=90。

乘积对不对？

1 × 1 × … × 1 × 2 × 2 × 5 × 5

86 个 1 乘起来还是 1，再乘 2×2×5×5 = 100

乘积 ✓

1 再多也不改变乘积。

验证乘积条件。

和对不对？

1 + 1 + … + 1 + 2 + 2 + 5 + 5

86 个 1 加起来是 86，再加 2+2+5+5=14 → 86+14 = 100

和 ✓

两个条件都满足了。

验证和条件。

能不能有 91 个？

若有 91 个数，至少 87 个是 1
剩下 4 个数乘积要 100、和要 13
但 2×2×5×5 最小和已是 14

结论：非 1 部分和不可能 ≤ 13
所以 90 个 已经最多

说明91不可能：4个≥2的自然数乘积100时和最小为14。

最终答案

最多 90 个

86 个 1，加上 2、2、5、5

揭晓答案90。

完整写出来

1, 1, 1, …（共 86 个）, 2, 2, 5, 5
乘积 = 100 和 = 100 个数 = 90

展示完整答案形式。

解题就四步

①

想到用 1
个数多、乘积不变

②

把 100 拆成几个数相乘
选和最小的拆法

③

100 减去这个和
差几个就补几个 1

④

数一数总个数
本题 = 90

总结四步法。

想一想

乘积是 12，和也是 12，最多几个自然数？

提示：12 = 2×2×3，和 = 7；补 12−7=5 个 1 → 3+5 = 8 个

同类练习：乘积12和12，答案8个。

两个容易错的地方

只满足一个条件

10 和 10 乘积是 100，但和只有 20，不行

忘了用 1

2、2、5、5 只有 4 个，还要补 86 个 1 才到 100

易错：忽略1的作用，或只验一个条件。

做完啦

答案是 90 个

86 个

1

4 个

2、2、5、5

乘积·和

都是 100

记住 1 的妙用，下次还会。

结束，答案90。

乘积是 100，和也是 100最多几个数？