小巴拉说：今天只做一道题，慢慢把它算明白。

长方体的棱长之和
怎样最少？

体积是 1560 立方厘米，长、宽、高都是自然数。

不急，一步一步来就好。

欢迎大家！今天带同学们解决一道长方体问题，重点是搞懂棱长之和怎么算、怎么找最小值。按 S 可打开演讲者视图。

先把题目读一遍

题目在问什么？

一个长方体的体积是 1560 立方厘米，它的长、宽、高均为自然数，它的棱长之和最少是多少厘米？

体积 = 1560

长 × 宽 × 高 = 1560

自然数

1, 2, 3… 正整数

棱长之和最少

在所有可能答案里选最小的

先把 1560、自然数、棱长之和圈出来。

完整读题，圈出体积1560、自然数、棱长之和最小三个关键信息。

记住：盒子有 6 个面、12 条棱

长方体就是小盒子

6

个面

12

条棱

3

组棱

三组互相平行的棱，长度分别叫长、宽、高。牙膏盒、积木块都是长方体！

搞懂盒子长啥样，再数棱。

复习长方体：6个面、12条棱、长宽高三组。

先弄懂两个词

想一想

什么是「自然数」？

用来数数的数：1, 2, 3, 4…
不包括 0，也不包括小数

想一想

「1560 立方厘米」是什么？

盒子里能装下 1560 个边长 1 厘米的小正方体！

停顿让学生思考自然数和体积的含义。

体积怎么算？

体积 = 长 × 宽 × 高

这道题里：长 × 宽 × 高 = 1560

举个例子

长 10 cm × 宽 4 cm × 高 3 cm → 体积 = 10×4×3 = 120 立方厘米

记住：长 × 宽 × 高 = 1560。

复习体积公式，这是解题的第一个基石。

棱长之和

4 条

长度 = 长

4 条

长度 = 宽

4 条

长度 = 高

棱长之和 = 4×长 + 4×宽 + 4×高

= 4 × (长 + 宽 + 高)

一样的棱，各 4 条。

引入棱长之和：12条棱，每组4条，提取公因数4。

为啥要乘 4？

因为长度相等的棱有 4 条！

4 条长的棱 → 4×长 | 4 条宽的棱 → 4×宽 | 4 条高的棱 → 4×高

提取公因数 → 4 × (长 + 宽 + 高)

让学生理解乘4的原因，加深公式记忆。

其实可以换个问法

问题变简单了

要让 4 × (长 + 宽 + 高) 最小，就要让长 + 宽 + 高最小。

新问题

在 长×宽×高=1560 的前提下，怎样让 长+宽+高 最小？

长+宽+高越小，棱长之和越少。

关键转化：求棱长之和最小 = 求长+宽+高最小。

乘积固定时，三个数越接近，它们的和就越小！

打个比方：同样面积的地，正方形围一圈篱笆最少。
同样体积的盒子，长宽高越接近，棱长之和越少。

讲解核心原理，可用正方形周长类比。

不用从 1 试到 1560

先估个大概范围

如果是正方体？

1560 开三次方 ≈ 11.6

长宽高应在 11～12 附近

试算策略

不用从 1 试到 1560，在 10～15 附近找就行！

11³=1331，12³=1728，1560 在中间

不用瞎试，先估个范围。

用三次方根估算，缩小试算范围到10-15。

把 1560 拆成质因数

1560 可以怎么拆？

1560 = 2 × 780
    = 2 × 2 × 390
    = 2 × 2 × 2 × 195
    = 2 × 2 × 2 × 3 × 65
    = 2³ × 3 × 5 × 13

把这些质因数重新组合成三个自然数，且尽量接近！

质因数分解帮助系统找因数组合。

想一想

如果长=10, 宽=12, 高=13

10 × 12 × 13 = ?

（按 → 下一页看答案）

让学生先自己试算 10×12×13，再揭晓。

10 × 12 × 13 = 1560

长 + 宽 + 高 = 10 + 12 + 13 = 35

三个数很接近（10～13），和就比较小。

这组对了，再看看有没有更小的。

揭晓10×12×13=1560，长+宽+高=35。

比一比谁更大

别的组合，和更大

长×宽×高	体积	长+宽+高
10 × 12 × 13	1560 ✓	35 ⭐ 最小
8 × 15 × 13	1560 ✓	36
6 × 20 × 13	1560 ✓	39
5 × 24 × 13	1560 ✓	42
2 × 60 × 13	1560 ✓	75

对比说明35已经是最小的长+宽+高。

35 还能更小吗？

和为 34 行不行？

10+11+13=34 → 10×11×13=1430≠1560

11+11+12=34 → 11×11×12=1452≠1560

9+12+13=34 → 9×12×13=1404≠1560

结论：长+宽+高最小 = 35

35 没法再小了，稳了。

解释为什么34不行，培养严谨思维。

答案来了

最终答案

长 + 宽 + 高 = 35

棱长之和 = 4 × 35 = 0 厘米

长=10 cm · 宽=12 cm · 高=13 cm

最后一步代入公式，揭晓140厘米。

四步就够用

解题就四步

①

理解题意
棱长之和=4×(长+宽+高)

②

转化问题
求和最小→求长+宽+高最小

③

找三个数
乘积=1560，尽量接近

④

代入计算
4×35=140 厘米

总结四步解题框架。

想一想

如果体积是 120 立方厘米，棱长之和最少是多少？

提示：120 = 4×5×6，长+宽+高=15 → 棱长之和 = 4×15 = 60 厘米

公式

4×(长+宽+高)

原理

越接近，和越小

方法

分解+试算

回顾三个重点，附带同类小练习。

别掉坑里

两个容易错的地方

忘了 ×4

错：35 cm → 对：140 cm

只加一条棱

10+12+13 不是棱长之和，要乘 4！

长宽高调换顺序没关系，10×12×13 和 13×10×12 一样。

强调易错点：忘乘4、只算一条棱。

做完啦

答案是 140 厘米

长

10 cm

宽

12 cm

高

13 cm

会了这道题，别的也差不多。

感谢同学，鼓励课后练习同类题目。

长方体的棱长之和怎样最少？